本課程是人工智能數(shù)學(xué)基礎(chǔ)系列的第一部分，重點(diǎn)回顧初等函數(shù)核心性質(zhì)，并系統(tǒng)介紹函數(shù)極限定義、極坐標(biāo)與參數(shù)方程表示法。這些概念是后續(xù)機(jī)器學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)算法的理論基礎(chǔ)。

一、初等函數(shù)核心性質(zhì)回顧

1. 有界性

函數(shù)在定義域內(nèi)取值存在上下界。例如：正弦函數(shù)y=sin x在[-1,1]內(nèi)有界。在AI中，激活函數(shù)（如Sigmoid）的有界性確保神經(jīng)元輸出穩(wěn)定。

2. 單調(diào)性

函數(shù)在區(qū)間內(nèi)保持遞增或遞減趨勢。ReLU激活函數(shù)在x>0時(shí)嚴(yán)格遞增，這是深度學(xué)習(xí)模型收斂的關(guān)鍵性質(zhì)。

3. 奇偶性

奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x)，偶函數(shù)滿足f(-x)=f(x)。卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的濾波器設(shè)計(jì)常利用此性質(zhì)。

4. 周期性

函數(shù)值按固定周期重復(fù)出現(xiàn)。傅里葉變換處理時(shí)序數(shù)據(jù)時(shí)，周期性分析至關(guān)重要。

二、函數(shù)極限的精確定義

采用ε-δ語言嚴(yán)格定義：對(duì)任意ε>0，存在δ>0，使得當(dāng)0<|x-x0|<δ時(shí)，|f(x)-L|<ε成立。這個(gè)定義是梯度下降法、反向傳播等優(yōu)化算法的理論基礎(chǔ)。

三、極坐標(biāo)與參數(shù)方程

極坐標(biāo)表示

點(diǎn)位置用(r,θ)表示，其中r為極徑，θ為極角。在計(jì)算機(jī)視覺中，極坐標(biāo)常用于圖像旋轉(zhuǎn)不變性處理。

參數(shù)方程

曲線用參數(shù)t表示：x=x(t), y=y(t)。機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃、三維建模都依賴參數(shù)方程。

四、人工智能軟件開發(fā)應(yīng)用

掌握這些數(shù)學(xué)工具后，開發(fā)者能夠：

1. 設(shè)計(jì)合適的激活函數(shù)和損失函數(shù)
2. 實(shí)現(xiàn)優(yōu)化算法的收斂性分析
3. 處理計(jì)算機(jī)視覺中的幾何變換
4. 構(gòu)建穩(wěn)定的數(shù)值計(jì)算程序

建議配合Python的NumPy、SymPy庫進(jìn)行實(shí)踐練習(xí)，將理論知識(shí)與實(shí)際編程相結(jié)合。